Aplicaciones de diferenciales aproximaciones y estimaciones en problemas de física, matemáticas, geografía y química.

Aplicaciones de aproximaciones y estimaciones en problemas de física, matemáticas, geografía y química.

En primera instancia las diferenciales son muy útiles para estimar o aproximar valores, para utilizar la diferencial para aproximar cálculos es importante poder determinar una función de la cual partir.

Primero tenemos que entender como es el orden de una Ecuación diferencial ordinaria:

Se llama ecuación diferencial ordinaria (E. D. O.) a una ecuación diferencial en la que aparecen derivadas ordinarias de una o más variables dependientes respecto a una única variable independiente.

El orden de una E.D.O. esta dado por el orden de la derivada de más alto valor, lamanera más general de representarla es: 

⨍[x,u(x),u(X)',...,u^n(x)]=0

Lo cual nos describe una E.D.O. de orden n. la ecuación (1) representa una relación entre la variable independiente x y los valores de la función u y sus n primeras derivadas, si convenientemente decimos que u(x)=y pudiendo reescribir como 

⨍[x,у,y′,...,y^л]=0

Un ejemplo entonces de una ecuación diferencial de orden 3 será

y′′′+2eｘy''+yy'=ｘ^4

Una ecuación diferencial parcial para una función u(x,y,...)  con derivadas parciales F[u(x),u(y),u(xx),u(xy),u(yy),...]=0 

Donde F es una funcion de las variables x,y,...u(x),u(y),u(xx),u(xy),u(yy),... en donde solamente ocurrirán un numero finito de derivadas. 

Las diferenciales tienen que ver en muchas ramas aparte de el Calculo integral y diferencial como lo veremos a continuación.

Aplicaciones de Diferenciales en la Física:

Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos grandes grupos: las ecuaciones diferenciales ordinarias y las ecuaciones diferenciales parciales. Si una ecuación diferenciales empleada en la descripción de un fenómeno físico, matemáticamente la solución nos dará una función, la cual al ser utilizada para describir el sistema esta podrá estar representada como un desarrollo ya sea en el tiempo, el espacio y demás variables que ayuden a la descripción del fenómeno.

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte delas veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Para ello mostraremos el desarrollo de varios fenómenos físicos en forma de una ecuación diferencial, así como encontrar el método para poder encontrar una solución esta, y así poder darle un sentido físico a dicha solución.

Ejemplos de la Ecuaciones Diferenciales para la solución de sistemas físicos.

En el contexto de la física el uso de Ecuaciones Diferenciales es el pan de cada día, por ejemplo la segunda ley de Newton en su forma de ED es de la siguiente manera:

Lo cual por lo anteriormente descrito, nos dice que es una ecuación de segundo orden.A razón de dar ejemplos de cómo son de gran importancia las ED en la física empecemos con algunos ejemplos básicos de su utilización.

Empecemos suponiendo un campo magnético descrito como

  

 supongamos que una carga eléctrica q la cual irrumpe en este campo eléctrico, la manera de encontrar sus ecuaciones de movimiento es de la siguiente forma: 

De la fuerza Lorentz tenemos que:

Dado que aquí no hay interacción con el campo eléctrico entonces E=0 entonces la ecuación anterior nos queda como: 

Realizando el producto cruz de la velocidad y el campo magnético tenemos que

Sabemos que la velocidad se escribe como:

Entonces sustituyendo esto en (41) y haciendo un poco de álgebra tenemos que

Sustituyendo esto en (40) y usando la definición de leyes de newton tenemos que:

Por esto tenemos un sistema de tres ED las cuales estarán dadas como:

Aplicación de diferenciales en la geografía:

Ya habíamos dejado asentado que el cálculo es la herramienta más eficaz de las

matemáticas para resolver todo tipo de problemas; sobre todo porque involucra el análisis

del cambio en cualquier tipo de movimiento, y cómo el cambio es un proceso que está

inmerso en prácticamente todo hecho o fenómeno natural, social o incluso abstracto y asi

mismo en cualquier tipo de escala y bajo cualquier condición dinámica o estática

(prácticamente todos son dinámicos). Por lo que entonces, ante la pretensión científica

excepcional del cálculo, la geografía adquiere su derecho y toma su papel matemático

correspondiente:

EJEMPLO: 

La liberación de los clorofluorcarbonos, que se usan en los acondicionadores de

cabello y, en menor grado, en los aerosoles domésticos (para el cabello, crema de rasurar,

etc,) destruye el ozono de la atmósfera superior. En la actualidad la cantidad de ozono, Q,

está disminuyendo a una tasa continua de 0.25 % anual. ¿Cuál es la vida media del ozono?

En otras palabras, con esta rapidez, ¿Cuánto tiempo tardará en desaparecer la mitad del

ozono?

SOLUCIÓN:

Si Qo es la cantidad inicial del ozono, entonces:

Q = Qo e –0.0025t

Se desea calcular T, que es el valor de t que hace que Q = Qo/2, y así:

Qo e –0.0025t = Qo/2

Dividiendo entre Qo y sacando logaritmos naturales:

ln(e –0.0025t) = -0.0025T = ln (1/2) = -0.6931

T = -0.6931/-0.0025 = 277 años

Aplicación de diferenciales en la química:

Las diferenciales han estado presentes en la química desde sus comienzos inicialmente como un aspecto formativo, en la aplicación de la lógica deductiva  y su carácter formal, y posteriormente como una herramienta para el diseño, en análisis y optimización de procesos químicos. 

las reacciones químicas pueden denotarse por una ecuación estequiometrica:

a A + b B + · · · = p P + q Q + · · ·

en la que los símbolos A, B, . . . son en la practica formulas químicas que representan las
sustancias que reaccionan para dar productos P, Q, . . .. Recordemos de nuevo que los números a, b, . . . y p, q, . . . en la ecuación significa que a moléculas de A reaccionan con b moléculas de B, . . ., para dar p moléculas de P, q moléculas de Q, etc.. Estas ecuaciones se suelen escribir agrupando todas las sustancias en una parte de la ecuación:

0 = −a A − b B − . . . + p P + q Q + . . . =

νAA + νBB + . . . + νP P + νQQ + . . .

y a los números −a, −b, p, q, etc. se les llama números estequiometricos.

La velocidad de reacción es la variación de la concentración (en moles/(unidad de volumen),
supuesto el volumen constante) y divido por el correspondiente numero estequiometrico.
Esta cantidad es la misma para cada sustancia y por lo tanto para una reacción general de

la forma tendríamos: 

y, por ejemplo, para la reacción del agua 0 = −2H2 − O − 2 + 2H2O:

Aplicación de diferenciales en Matemáticas:

La diferencial: En el campo de la matemáticas llamado cálculo, el diferencial representa la parte principal del cambio en la linealización de una función

y = ƒ(x) con respecto a cambios en la variable independiente. El diferencial queda definido por la expresión:

como si la derivada

dy/dx representara el cociente entre la cantidad dy y la cantidad dx. Se puede también expresar como:

El significado preciso de estas expresiones depende del contexto en las cuales se las utilice y el nivel de rigor matemático requerido. Según consideraciones matemáticas rigurosas modernas, las cantidades dy y dx son simplemente variables reales y son manipuladas como tales. El dominio de estas variables puede tomar una significación geométrica particular si el diferencial es considerado como una forma diferencial, o significativa analítica si el diferencial es considerado como una aproximación lineal del incremento de la función. En aplicaciones físicas, a menudo se requiere que las variables dx y dy sean sumamente pequeñas (infinitesimales).

Ejemplos:

Problema: 

#Ramírez Morales Daniel Andrés